Συντελεστές
Βιντεοσκόπηση: Δημήτρης Βουδούρης
Μοντάζ: Δημήτρης Βουδούρης
Προγραμματισμός ασκήσεων: Δημήτρης Αγγελάκης
Η βιντεοσκόπηση έγινε στο στούντιο του Mathesis στο Ηράκλειο τον χειμώνα του 2019.
Μαθηματικά
Διαφορικές Εξισώσεις 3: Γραμμικές Εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές - Σειρές Fourier
<div class='shortdesc'>Στέφανος Τραχανάς</div> <span class='shortdesc'>ΙΤΕ - Πανεπιστήμιο Κρήτης</span> <!--S-ELFPACED $materials.uoc.gr$math.uoc.gr$tem.uoc.gr$physics.uoc.gr$Το μάθημα προσφέρεται αποκλειστικά στους φοιτητές του τμήματος Φυσικής, ΤΕΤΥ, Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης. Όσοι είστε φοιτητές των παραπάνω τμημάτων εγγραφείτε στο mathesis με το email της σχολής σας. Για όσους δεν είναι φοιτητές, το μάθημα υπάρχει σε καθεστώς αυτομελέτης <a href='https://mathesis.cup.gr/courses/course-v1:Mathematics+MATH2.3+21E/about'>εδώ</a>.$ -->
Περιγραφή του μαθήματος
Οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξεως που συναντούμε στα πραγματικά προβλήματα δεν ανήκουν πάντα στον "παράδεισο" των εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Διάσημες εξισώσεις όπως η Bessel και η Legendre, που είναι πανταχού παρούσες στις εφαρμογές, είναι εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές. Οι τρεις πρώτες εβδομάδες τούτου του τελευταίου μέρους του μαθήματος είναι αφιερωμένες στις εξισώσεις αυτού του είδους, ενώ οι υπόλοιπες δύο στο εξίσου σημαντικό θέμα των σειρών Fourier και του συναφούς προβλήματος των συνοριακών τιμών που είναι στενά συνδεδεμένο με την επίλυση των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων της Μαθηματικής Φυσικής. Αναγνωρίζοντας την εγγενή δυσκολία της μεθόδου των δυναμοσειρών —που είναι η μόνη γενική μέθοδος λύσης των δευτεροτάξιων εξισώσεων με μεταβλητούς συντελεστές— το μάθημα καταβάλει μια ιδιαίτερη προσπάθεια για τη συστηματική απλοποίησή της, βασιζόμενο σε έννοιες και τεχνικές που έχει αναπτύξει ο διδάσκων προκειμένου να απαντήσει σε ερωτήματα που ο ίδιος επίμονα έθετε στον εαυτό του, διαπίστωσε όμως ότι παρέμεναν συστηματικά ανερώτητα στη βιβλιογραφία. Χάρις σε λίγες έννοιες-κλειδιά —π.χ. εκείνη των διβάθμιων εξισώσεων— οι διάσημες εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής αποκτούν μια καθαρά μαθηματική αξία που αναδεικνύει τη σημασία τους ανεξάρτητα από την όποια χρησιμότητά τους στις εφαρμογές. Ενώ αναπτύσσονται επίσης αποτελεσματικές τεχνικές χειρισμού τους, ώστε βασικά ερωτήματα που τίθενται στην πράξη να μπορούν να απαντηθούν σχεδόν με απλή εποπτεία της εξίσωσης ή με τετριμμένους υπολογισμούς. Παραδείγματος χάριν πότε μια δοθείσα εξίσωση έχει πολυωνυμικές λύσεις και για ποιες τιμές μιας χαρακτηριστικής παραμέτρου της ή αν μπορεί να αναχθεί σε κάποια πρότυπη μορφή και να εκφραστούν οι λύσεις της μέσω γνωστών συναρτήσεων (Bessel, υπεργεωμετρικές, κ.λπ.).
Το μάθημα έχει σχεδιαστεί ώστε να είναι προσιτό τόσο σε αυτούς που ενδιαφέρονται για μια πιο ελαφρά κατανόηση του αντικειμένου του όσο και σε εκείνους που θέλουν να αξιοποιήσουν όλες τις ευκαιρίες που τους προσφέρει για να γίνουν "γνώστες" του. Για αυτόν τον σκοπό έχει τροποποιηθεί και η διαδικασία αξιολόγησης, με κατάργηση των εβδομαδιαίων τεστ και μετατροπή των ασκήσεων κατανόησης μεταξύ των βίντεο από μη βαθμολογούμενες σε βαθμολογούμενες. Όπως και τα προηγούμενα μέρη του μαθήματος, έτσι και τούτο στέκει αυτοτελώς και μπορεί να το παρακολουθήσει ο καθένας που έχει μια βασική εξοικείωση με τις θεμελιώδεις έννοιες του λογισμού και των διαφορικών εξισώσεων. Απαιτεί όμως μεγαλύτερη μαθηματική ωριμότητα και ισχυρότερο κίνητρο για μάθηση. Από την πλευρά του, ο διδάσκων ελπίζει να μεταγγίσει λίγο από τον ενθουσιασμό του για το αντικείμενο του μαθήματος σε όσους έχουν την επιθυμία να το γνωρίσουν.
Διδάσκων
Στέφανος Τραχανάς
Ο Στέφανος Τραχανάς διδάσκει, μεταξύ άλλων, κβαντική φυσική και διαφορικές εξισώσεις στο τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης από το 1983 έως σήμερα. Από το 1986 και μετά είναι μέλος του επιστημονικού προσωπικού του Ιδρύματος Τεχνολογίας και Έρευνας και η διδασκαλία του στο τμήμα Φυσικής προσφέρεται δωρεάν. Είναι συγγραφέας έντεκα πανεπιστημιακών συγγραμμάτων στα παραπάνω πεδία καθώς και των βιβλίων Το φάντασμα της όπερας: Η επιστήμη στον πολιτισμό μας και Το αμάρτημα της Εύας: Φυσική κάτω από τ’ άστρα και δημιουργική μάθηση, τα οποία απευθύνονται στο ευρύτερο μορφωμένο κοινό. Το βιβλίο του An Introduction to Quantum Physics κυκλοφορεί από τον εκδοτικό οίκο Wiley. Το 2003 ανακηρύχτηκε σε επίτιμο διδάκτορα του Πανεπιστημίου Κρήτης, ενώ το 2012 του απονεμήθηκε το Εθνικό βραβείο εξαίρετης πανεπιστημιακής διδασκαλίας Ξανθόπουλου - Πνευματικού. Για το σύνολο της προσφοράς του τιμήθηκε το 2015 με τον Ανώτερο Ταξιάρχη του Φοίνικα της Ελληνικής Δημοκρατίας. Το 2022 το τμήμα φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης έδωσε το όνομά του σε ένα από τα αμφιθέατρά του και το 2023 ο Δήμος Ηρακλείου του απένειμε το βραβείο ηθικής τάξεως της πόλης. Ως ιδρυτικό μέλος και διευθυντής των Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης του Ιδρύματος Τεχνολογίας και Έρευνας μέχρι το 2013, είχε τη βασική ευθύνη για τη δημιουργία του πρώτου πανεπιστημιακού εκδοτικού οίκου της χώρας. Τα τελευταία χρόνια το ενδιαφέρον του στράφηκε στα ανοικτά διαδικτυακά μαθήματα και τους νέους δρόμους που αυτά ανοίγουν για την εξίσωση των ευκαιριών στην ποιοτική εκπαίδευση. Πιστεύει ότι η χώρα μας δεν μπορεί να μείνει έξω από τις επαναστατικές αλλαγές που συντελούνται αλλού σε αυτό το θέμα και γι’ αυτόν το σκοπό πήρε την πρωτοβουλία για την ίδρυση του Mathesis —ενός αυτόνομου και αυτοχρηματοδοτούμενου τμήματος των ΠΕΚ— στο οποίο και προσφέρει εθελοντικά την εργασία του τόσο ως διευθυντής του (πλήρους και αποκλειστικής απασχόλησης) όσο και ως δάσκαλος ή συγγραφέας. Η επιτυχία του «πειράματος» είναι το προσωπικό του στοίχημα για τα επόμενα χρόνια.