Παράλειψη σε κυρίως περιεχόμενο.

Μαθηματικά

Διαφορικές Εξισώσεις 2: Διαφορικά συστήματα - Μετασχηματισμός Laplace


<div class='shortdesc'>Στέφανος Τραχανάς</div> <span class='shortdesc'>ΙΤΕ - Πανεπιστήμιο Κρήτης</span> <!--S-ELFPACED $materials.uoc.gr$math.uoc.gr$tem.uoc.gr$physics.uoc.gr$Το μάθημα προσφέρεται αποκλειστικά στους φοιτητές του τμήματος Φυσικής, ΤΕΤΥ, Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης. Όσοι είστε φοιτητές των παραπάνω τμημάτων εγγραφείτε στο mathesis με το email της σχολής σας. Για όσους δεν είναι φοιτητές, το μάθημα υπάρχει σε καθεστώς αυτομελέτης <a href='https://mathesis.cup.gr/courses/course-v1:Mathematics+MATH2.2+21D/about'>εδώ</a>.$ -->

Περιγραφή του μαθήματος

Ζούμε σε έναν κόσμο αλληλεξαρτήσεων. Το πώς μεταβάλλεται με το χρόνο ένα φυσικό μέγεθος, ένας πληθυσμός ψαριών ή η τιμή κάποιου προϊόντος εξαρτάται όχι μόνο από δεδομένους σταθερούς παράγοντες αλλά και από το πώς μεταβάλλονται κάποια άλλα μεγέθη που αλληλοεπηρεάζονται με το πρώτο κ.ο.κ. Τα συστήματα διαφορικών εξισώσεων – όπου οι άγνωστες συναρτήσεις του χρόνου είναι περισσότερες από μια και πρέπει να προσδιοριστούν όλες μαζί και όχι η καθεμία χωριστά- βρίσκονται λοιπόν πολύ κοντύτερα στον πραγματικό κόσμο απ’ ότι οι διαφορικές εξισώσεις με μία άγνωστη συνάρτηση που εξετάσαμε στο πρώτο μέρος του μαθήματος.

Σε τούτο το δεύτερο μέρος, θα μάθουμε πως να λύνουμε συστήματα διαφορικών εξισώσεων και πως να εφαρμόζουμε αυτή την γνώση σε ενδιαφέροντα προβλήματα του πραγματικού κόσμου. Στις παραδοσιακές μεθόδους επίλυσης διαφορικών συστημάτων προστίθεται όμως και ο περίφημος μετασχηματισμός Laplace, ο οποίος βέβαια εφαρμόζεται και για τη λύση διαφορικών εξισώσεων μίας μεταβλητής, οπότε μπορεί επίσης να θεωρηθεί και ως προσθήκη στα εργαλεία που αναπτύξαμε για αυτές.

Από το πρώτο μέρος του μαθήματος –πέρα από λίγες στοιχειώδεις έννοιες και τεχνικές- θα μας χρειαστεί κυρίως η μέθοδος της εκθετικής αντικατάστασης για τη λύση των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Από μαθηματική άποψη θα χρειαστούμε επίσης λίγες βασικές έννοιες από τη γραμμική άλγεβρα, για τις οποίες όμως καμία προηγούμενη γνώση δεν είναι αναγκαία: Θα αναπτυχθούν «επί τόπου».

Γενικότερα – λόγω του μεγαλύτερου ενδιαφέροντος που θεωρούμε ότι έχει τούτο το μέρος του μαθήματος- η παιδαγωγική προσπάθεια που καταβλήθηκε για την ετοιμασία του, είναι σαφώς μεγαλύτερη από ότι στο προηγούμενο κι επομένως περιμένουμε να είναι αρκετά πιο βατό απ’ αυτό.

Διδάσκων

Στέφανος Τραχανάς

Ο Στέφανος Τραχανάς διδάσκει, μεταξύ άλλων, κβαντική φυσική και διαφορικές εξισώσεις στο τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης από το 1983 έως σήμερα. Από το 1986 και μετά είναι μέλος του επιστημονικού προσωπικού του Ιδρύματος Τεχνολογίας και Έρευνας και η διδασκαλία του στο τμήμα Φυσικής προσφέρεται δωρεάν. Είναι συγγραφέας έντεκα πανεπιστημιακών συγγραμμάτων στα παραπάνω πεδία καθώς και των βιβλίων Το φάντασμα της όπερας: Η επιστήμη στον πολιτισμό μας και Το αμάρτημα της Εύας: Φυσική κάτω από τ’ άστρα και δημιουργική μάθηση, τα οποία απευθύνονται στο ευρύτερο μορφωμένο κοινό. Το βιβλίο του An Introduction to Quantum Physics κυκλοφορεί από τον εκδοτικό οίκο Wiley. Το 2003 ανακηρύχτηκε σε επίτιμο διδάκτορα του Πανεπιστημίου Κρήτης, ενώ το 2012 του απονεμήθηκε το Εθνικό βραβείο εξαίρετης πανεπιστημιακής διδασκαλίας Ξανθόπουλου - Πνευματικού. Για το σύνολο της προσφοράς του τιμήθηκε το 2015 με τον Ανώτερο Ταξιάρχη του Φοίνικα της Ελληνικής Δημοκρατίας. Το 2022 το τμήμα φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης έδωσε το όνομά του σε ένα από τα αμφιθέατρά του και το 2023 ο Δήμος Ηρακλείου του απένειμε το βραβείο ηθικής τάξεως της πόλης. Ως ιδρυτικό μέλος και διευθυντής των Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης του Ιδρύματος Τεχνολογίας και Έρευνας μέχρι το 2013, είχε τη βασική ευθύνη για τη δημιουργία του πρώτου πανεπιστημιακού εκδοτικού οίκου της χώρας. Τα τελευταία χρόνια το ενδιαφέρον του στράφηκε στα ανοικτά διαδικτυακά μαθήματα και τους νέους δρόμους που αυτά ανοίγουν για την εξίσωση των ευκαιριών στην ποιοτική εκπαίδευση. Πιστεύει ότι η χώρα μας δεν μπορεί να μείνει έξω από τις επαναστατικές αλλαγές που συντελούνται αλλού σε αυτό το θέμα και γι’ αυτόν το σκοπό πήρε την πρωτοβουλία για την ίδρυση του Mathesis —ενός αυτόνομου και αυτοχρηματοδοτούμενου τμήματος των ΠΕΚ— στο οποίο και προσφέρει εθελοντικά την εργασία του τόσο ως διευθυντής του (πλήρους και αποκλειστικής απασχόλησης) όσο και ως δάσκαλος ή συγγραφέας. Η επιτυχία του «πειράματος» είναι το προσωπικό του στοίχημα για τα επόμενα χρόνια.

Συντελεστές

Βιντεοσκόπηση: Νίκος Γκικόπουλος
Μοντάζ: Δημήτρης Βουδούρης
Προγραμματισμός ασκήσεων: Δημήτρης Αγγελάκης

Η βιντεοσκόπηση έγινε στο στούντιο του Mathesis στο Ηράκλειο τον χειμώνα του 2019.

  1. Κωδικός Μαθήματος

    ΜΑΘ2.2
  2. Έναρξη Μαθήματος

    01/11/2024 <br/> Για τους φοιτητές του Πανεπιστήμιου Κρήτης
  3. Προσπάθεια

    40 ώρες <!--$4$0$-->
ΕΓΓΡΑΦΗ